સામગ્રીનો પરિચય: પ્રકૃતિ અને ગુણધર્મો (ભાગ 1: સામગ્રીનું માળખું)

પ્રો. આશિષ ગર્ગ

ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ મટિરિયલ સાયન્સ એન્ડ એન્જિનિયરિંગ

ઇન્ડિયન ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ટેકનોલોજી, કાનપુર

વ્યાખ્યાન – 07

બ્રાવિસ લેટિસ

ક્રિસ્ટલ્સમાં સમપ્રમાણતા

આ વ્યાખ્યાનમાં, આપણે બ્રાવેઇસ જાળીઓ અને સ્ફટિકોમાં સમપ્રમાણતાની રજૂઆત વિશે ચર્ચા કરવા જઈ રહ્યા છીએ. તેથી, હું તમને એક ટૂંકું પુનરાવર્તન આપું છું. અમે છેલ્લા વર્ગમાં આદિમ, બિન-આદિમ જાળીઓ વિશે ચર્ચા કરી. ભાત અથવા આધાર શું છે? અને પરમાણુઓ, અણુઓ અથવા ભાતનું સાપેક્ષ અભિગમ તમારી પાસે રહેલા આદિમ એકમોના પ્રકારને કેવી રીતે નક્કી કરે છે. આ આદિમ જાળીની વ્યાખ્યાને અનુસરવું જોઈએ, એટલે કે, આદિમ એકમ કોષની અંદર, તે પુનરાવર્તિત કરી શકાય તેવું એકમ હોવું જોઈએ, ત્યાં કોઈ ગાબડાં અથવા બંધ ન હોવા જોઈએ, અને તે પુનરાવર્તિત કરી શકાય તેવું હોવું જોઈએ. તેથી, જો તમે શક્ય તેટલો નાનો કોષ પસંદ કરો છો, જે એકબીજાના સંદર્ભમાં અણુઓના અભિગમને ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ, તો તે એવું હોવું જોઈએ કે જેથી તે પુનરાવર્તિત કરી શકાય. તેની સાથે સંકળાયેલી તમામ પ્રજાતિઓ માટે સમાન પડોશ છે.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 01:28)

તેથી, હવે મને આગળના વિષય પર જવા દો. 3-ડીમાં 7 ક્રિસ્ટલ સિસ્ટમ્સ અને 14 બ્રાવેઇસ જાળીઓ છે. તદુપરાંત, આપણે જોયું કે દરેક બિન-આદિમ જાળી, જેમ કે ચહેરા કેન્દ્રિત ઘન અથવા શરીર કેન્દ્રિત ઘન જાળી, ઘન પ્રણાલીના કિસ્સામાં, જાળીબિંદુઓની સંખ્યાના આધારે આદિમ જાળીઓની સંખ્યાથી બનેલી છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, શરીર કેન્દ્રિત ઘનમાં બે જાળીબિંદુઓ હોય છે, જેનો અર્થ એ છે કે તે બે આદિમ ઘન જાળી ની સમકક્ષ છે. એ જ રીતે, ચહેરા પર કેન્દ્રિત ઘન જાળીમાં ચાર જાળીબિંદુઓ હોય છે, અને તે ચાર આદિમ જાળીઓ ની સમકક્ષ છે. તેથી, વ્યક્તિએ આદિમ જાળીઓ સરળતાથી અઆદિ જાળીઓની અંદર દોરવા માટે સક્ષમ હોવું જોઈએ.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 02:40)

ઉદાહરણ તરીકે, એક આદિમ જાળી, તે ૨ડીમાં છે. આમાં, આપણી પાસે જે છે તે પરમાણુઓની એક એરે છે. અમે પહેલો આદિમ એકમ કોષ દોર્યો છે, એ₁ એ આદિમ જાળીનો વેક્ટર છે, એ₂ એક આદિમ જાળી છે. પરંતુ, આદિમ કોષની પસંદગી અનન્ય નથી, આવશ્યકરીતે તમે કોઈ પણ આદિમ વેક્ટર પસંદ કરી શકો છો જે આદિમ એકમ કોષને જન્મ આપી શકે. તેથી, તમારી પાસે આદિમ જાળીના વેક્ટર્સ છે એ₁', એ₂'જો કે, તે અલગ છે તે એ2 જેવું નથી, એ₂' આ પરમાણુથી તે પરમાણુ સુધી છે, પરંતુ તે હજી પણ તમને એક આદિમ એકમ કોષ આપે છે આ બંને કોશિકાઓનો વિસ્તાર એકબીજાની બરાબર થવાનો છે. તમે ત્રીજામાં જોઈ શકો છો, અને તમે કહો છો એ₁", અને એ₂". તેથી, આદિમ જાળીના વેક્ટર્સની પસંદગી, જેમ કે તમારી પાસે બહુવિધ પસંદગીઓ હોઈ શકે છે, જ્યાં સુધી તમે તે બે વેક્ટર્સ અથવા તે ત્રણ વેક્ટર્સમાંથી 3-ડીમાં આદિમ એકમ કોષ બનાવી શકો ત્યાં સુધી તે નિશ્ચિત પસંદગી નથી. એ જ રીતે, આ કિસ્સામાં, તમારી પાસે છે એ₁'''તમે જોઈ શકો છો કે આ એકમ કોષ છે જે તમે દોરી રહ્યા છો તે એક બિન-આદિમ એકમ કોષ છે, જે મોટો છે.

એ જ રીતે, બિન-આદિમ એકમ કોશિકાઓ માટે પણ અનેક પસંદગીઓ છે. તેથી, આ કિસ્સામાં, તમારી પાસે એક બિન-આદિમ એકમ કોષ હોઈ શકે છે, અને આ જાળીનો વેક્ટર હોઈ શકે છે, અથવા તે જાળીવાળો વેક્ટર હોઈ શકે છે. તેથી, હું જે ભાર મૂકવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યો છું તે એ છે કે જ્યારે તમે કોઈ ચોક્કસ આદિમ એકમ કોષ પસંદ કરો છો, ત્યારે આદિમ એકમ કોષ વેક્ટર્સની પસંદગી બહુવિધ હોય છે. તે વેક્ટરોએ હંમેશાં તમને એક જ પ્રકારના સમાન વિસ્તારનો આદિમ એકમ કોષ શા માટે આપ્યો?

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 04:38)

બીસીસીમાં, પહેલો સેટ છે,

હજી પણ નિર્મિત આદિમ જાળીમાં વેક્ટર્સનો આ સમૂહ અથવા તમે વૈકલ્પિક રીતે વેક્ટર્સનો સમૂહ રાખી શકો છો, જે બીસીસીમાં વધુ અનુકૂળ લાગે છે, તમે જે પસંદ કરો છો તે સમપ્રમાણતા પર આધાર રાખે છે, પરંતુ ત્યાં અનેક સંભાવનાઓ છે. આ બીસીસી યુનિટ સેલ છે. તેથી, આપણે ત્યાં નીચે રહેલા પરમાણુઓની તપાસ કરી રહ્યા છીએ. આ કેન્દ્રમાં એક છે, આ જમણી બાજુ છે, આ નીચેનું પરમાણુ છે, અને આ પરમાણુ છે જે ક્યાંક નુકસાન પર છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, તમે અહીંથી અહીં સુધી પસંદ કરી શક્યા હોત, આ એક જાળીવેક્ટર હોઈ શકે છે. તેથી, આ કિસ્સામાં, અમે આ મુદ્દાને મૂળ તરીકે લઈ રહ્યા છીએ, તેથી જ અમે ત્યાં નીચે રહેલા પરમાણુને પસંદ કર્યો છે. તેથી, તમે જોઈ શકો છો કે આ વાય છે, આ એક્સ છે, અને આ ઝેડ છે. તેથી, આ વેક્ટર આ દિશામાં અડધો છે; અડધો ઝેડ, જે આ દિશા છે અને પછી અડધો એક્સ છે. તેથી, આ તમારી સામે છે. તેથી, એક્સ આ દિશામાં છે આ પરમાણુ કોષની અંદર છે, અને આ તમારી સામેના કોષની બહાર છે, આ એકમ કોષમાં મધ્ય પરમાણુની જમણી બાજુ છે, આ એકમ કોષમાં મધ્ય પરમાણુનું તળિયું છે. તેથી, તમે જોઈ શકો છો કે સેટ છે,

અને આ વેક્ટર્સને સુધારીને, તમે એકમ કોષને આવું કંઈક બનાવી શકો છો. તેથી, તમારી પાસે જાળી છે, અને તમારી પાસે જાળીઅનુવાદ છે. હવે તમે તેમને જોડો છો, અને તમારે તમારી પાસે જે છે તે જેવું કંઈક સાથે સમાપ્ત થવું જોઈએ. તેથી, આ એક આદિમ કોષ છે, અને વોલ્યુમ એક આદિમ એકમ કોષના વોલ્યુમનો અડધો ભાગ છે.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 07:53)

આ એફસીસીના કિસ્સામાં છે, જ્યાં તમારી પાસે વેક્ટર્સ હોઈ શકે છે. તેથી, આને મૂળ તરીકે પસંદ કરો; આ એ1, એ2 છે, અને આ એ3 છે. તેથી, પરિણામે, ખૂણાના પરમાણુઓ ત્રણ ચહેરાના કેન્દ્રપરમાણુઓ સાથે જોડાય છે,

જો તમે તમારું મૂળ અલગ રીતે પસંદ કરો છો, તો તમારા વેક્ટર્સ અને ચિહ્નો બદલાશે. તેથી, જો તમે આ ત્રણ વેક્ટર્સનો ઉપયોગ કરવાથી જોડાશો, તો તમે આ સમાંતરગ્રામ મેળવો છો અથવા ઘનની અંદર સમાંતર પાઇપ કરો છો. આ આદિમ કોષ છે. બિન-આદિમ એકમ કોષ આદિમ નો સમાવેશ કરે છે? સૌથી ટૂંકી જાળી અનુવાદ વેક્ટર શું છે? આપણે તે જ જોઈએ છીએ, તેથી, તે આદિમ જાળી વેક્ટર છે, જે આદિમ જાળી વેક્ટર છે કારણ કે એક આદિમ કોષ બે આદિમ કોશિકાઓથી બનેલો છે. તેથી, તમે હંમેશાં બિન-આદિમ કોષની અંદર આદિમ જાળી વેક્ટર પસંદ કરી શકો છો.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 10:01)

બિન-આદિમ જાળી વેક્ટર એક ઘન હશે. તેથી, બિન-આદિમ જાળી વેક્ટર આ હશે, તે અને તે, પરંતુ આ સૌથી ટૂંકી જાળી અનુવાદ વેક્ટર છે જેમાં આદિમ જાળીવેક્ટર્સ છે.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 10:18)

તેથી, મને લાગે છે કે અગાઉના એક વર્ગમાં મેં તમને ૨-ડી જાળીઓ દોરવાનું કહ્યું હતું જે શક્ય છે. તેથી, એવી થોડી સંભાવનાઓ છે જે તમે પ્રથમ જોઈ શકો છો, એ બરાબર નથી બી અને θ 90 બરાબર નથી⁰. અન્ય બે સંભાવનાઓ છે એ બરાબર નથી બી, પરંતુ θ 90 બરાબર છે⁰, અને ત્રીજો, એ બરાબર નથી બીઅને θ 90 બરાબર છે⁰, પણ તમારી પાસે પરમાણુ છે એ મધ્યમાં. તેથી, આ એક લંબચોરસ કેન્દ્રિત જાળી છે. તેથી, આ એક ત્રાંસી જાળી છે, આ એક લંબચોરસ અને કેન્દ્રિત છે, આ ષટકોણ છે જેમાં એ બરાબર છે બી, θ 120 બરાબર છે⁰અને પછી તમારી પાસે ચોરસ જાળી છે જ્યાં એ બરાબર છે બી અને θ 90 બરાબર છે⁰.

તેથી, આ સંભાવનાઓ છે જે 2ડીમાં અસ્તિત્વમાં છે, બ્રાવેઇસ જાળીની પાંચ સંભાવનાઓ. તેથી, હવે આપણે આદિમ અને બિન-આદિમ એકમ કોષ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, અને અમે ચાવી પણ કહી છે કે આદિમ એકમ કોશિકાઓની અનેક સંભાવનાઓ છે. કોઈ ની વ્યવસ્થાના પ્રકારને આધારે ચોરસ હોઈ શકે છે, અને તમે સમાંતરગ્રામ રાખી શકો છો. તેથી, બહુવિધ સંભાવનાઓ પૂરી પાડવામાં આવે છે; તેમની પાસે યુનિટ સેલ દીઠ ફક્ત એક જાળીબિંદુ છે. પ્રશ્ન એ હતો કે તમે માપદંડને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરો છો? તેથી, જેથી તમે અનેક સંભાવનાઓ સાથે સમાપ્ત ન થાઓ. તમે તેમને અમુક માપદંડોમાં કેવી રીતે બંધબેસો છો, અને ત્યાં જ આ સ્ફટિક પ્રણાલીની સિસ્ટમ અમલમાં આવી. જાળીના પરિમાણો અને તેમના સહસંબંધના આધારે સ્ફટિક સિસ્ટમ અનુસાર વર્ગીકરણ.

તો, તમને આ માપદંડ કેવી રીતે મળે છે? આ તે છે કારણ કે તમે સમપ્રમાણતાના આધારે આ જોઈ શકો છો. તેથી, તમે સહજ હોઈ શકો છો કે ક્યુબ ટેટ્રાગોનની તુલનામાં વધુ સમપ્રમાણ છે કારણ કે ઘનની ત્રણ સમાન બાજુઓ હોય છે, તે તમામ 90 ધરાવે છે⁰ ખૂણાઓ, અને ટેટ્રાગોન પાસે તમામ 90 છે⁰ ખૂણો, પરંતુ તેની એક બાજુ છે જે અન્ય બેની તુલનામાં અલગ છે. શું પ્રશ્ન ઊભો થાય છે કે આ માપદંડ શું છે? આ માપદંડને વિકસાવવા માટે કેટલીક સ્ફટિકશાસ્ત્ર સમપ્રમાણ બાબતો છે જેનું પાલન કરવું પડશે. હવે અમે આગામી થોડી મિનિટોમાં તે સમપ્રમાણતાનો માપદંડ લઈશું.

(સ્લાઇડ સમય સંદર્ભ આપો: 13:10)

તો, હવે આપણે ક્રિસ્ટલ્સમાં સમપ્રમાણતા નામની આ થી શરૂઆત કરીએ છીએ, અને આપણે શા માટે સમજવાની જરૂર છે? તેથી, આપણે સ્ફટિક પ્રણાલીવર્ગીકરણ અને બ્રાવેઇસ લેટિસની પસંદગીના આધાર પાછળના તર્કને સમજી શકીએ. આ ખૂબ જ જટિલ વિષય છે. તેથી, કમનસીબે, આ અભ્યાસક્રમમાં, આપણી પાસે સ્ફટિકશાસ્ત્રના સંપૂર્ણ પાસાઓની આસપાસ જવા માટે પૂરતો સમય નથી, પરંતુ અમે તેની સાથે કેવી રીતે વ્યવહાર કરવો તેના પર સરળ આધાર સ્થાપિત કરવાનો પ્રયાસ કરીશું. તો, સમપ્રમાણતા શું છે?

(સ્લાઇડ સમય સંદર્ભ આપો: 14:09)

તે પહેલો પ્રશ્ન છે. તેથી, આ પ્રશ્નનો જવાબ એ છે કે, સમપ્રમાણતા એ એક ઓપરેશન છે, જે તેમાં કોઈ વસ્તુ લાવે છે તે મૂળ સ્થિતિ છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો હું આ ચોરસ લઉં, તો હું તેના પર શું સમપ્રમાણતા ઓપરેશન કરી શકું છું જેથી તે રહે તે સમાન લાગે. એક સંભવિત વિકલ્પ એ છે કે જો હું આને ચોરસના કેન્દ્ર તરીકે પસંદ કરું, અને હું તેને 90 ફેરવું છું⁰ આ ધરીની આસપાસ ફરવું. તેથી, ધરી કાગળના વિમાનની લંબ છે. તેથી, જો હું 90 લાગુ કરું તો⁰ રોટેશન, પછી આ ફરીથી તે જ જમણી તરફ દેખાય છે, તે ચોરસ આકારમાં પાછું આવે છે. તેથી, આ 90 છે⁰ રોટેશન. તેથી, આને રોટેશન સમપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે.

એ જ રીતે, જો તમે ત્રિકોણ, સમતાપૂર્ણ ત્રિકોણ લો છો, તો તમારે તેના પર શું ઓપરેશન કરવાની જરૂર છે? તેથી, આ ત્રિકોણનું કેન્દ્ર છે, અને હું 120 પ્રદાન કરું છું⁰ રોટેશન. તેથી, તે એક જ આકારમાં દેખાય છે. તેથી, આ ફક્ત કામગીરીના ઉદાહરણો છે જે તમે વસ્તુને સમાન આકારમાં લાવવા માટે પ્રદર્શન કરી શકો છો. તેથી, આપણે શા માટે સમજવાની જરૂર છે કારણ કે તેમની સમપ્રમાણતા જાળીઓને વર્ગીકૃત કરે છે.

તેથી, તે ફક્ત આ પરિભ્રમણ જ નથી, જે એક સમપ્રમાણતા તત્વ છે. બહુવિધ સમપ્રમાણતા તત્વો છે. તો, આ સમપ્રમાણતા તત્વો શું છે? તેથી, મેં કહ્યું તેમ, સમપ્રમાણતા એ એક ઓપરેશન છે, જ્યારે તમે કોઈ વસ્તુ પર પ્રદર્શન કરો છો, ત્યારે તમે સ્વ-સંયોગની સ્થિતિમાં લાવો છો. તો, ચાલો હવે આપણે જોઈએ કે આ સમપ્રમાણતા કામગીરીના પ્રકારો સમપ્રમાણતા કામગીરીઓ કયા છે?

(સ્લાઇડ સમય સંદર્ભ આપો: 16:31)

તેથી, સમપ્રમાણતા કામગીરીના પ્રકારો, પ્રથમ ભાષાંતર સમપ્રમાણતા છે કારણ કે જો તમે ફક્ત ૧-ડી જાળીથી શરૂ કરો છો. તો, આપણે કહીએ કે, જો તમારી પાસે ૧-ડી જાળીનો આ કેસ હોય, અને તમે અહીં ફક્ત એક પરમાણુ મૂકો. તેથી, તમે જોઈ શકો છો કે, જો તમે આ બિંદુથી વેક્ટર ટી દ્વારા તે બિંદુ તરફ આગળ વધો, 1-ડીમાં બિંદુઓની અનંત એરેમાં, તો આ જાળી અનુવાદ વેક્ટર ટી, સ્વ-સંયોગની સ્થિતિમાં લાવે છે કારણ કે આ બિંદુ તે બિંદુ જેવું જ છે, તો આ એક અનુવાદ છે. તેથી, આ એક એવો કિસ્સો છે જેને આપણે ભાષાંતર સમપ્રમાણતા કહીએ છીએ, અને આ 1-ડીમાં વ્યાખ્યાયિત સમપ્રમાણતા છે. તેથી 1-ડીમાં, તમારી પાસે ભાષાંતર સમપ્રમાણતા હોવી જોઈએ.

હવે, જો હું તેની આસપાસની ભાત બદલી શકું, તો, આ ફરીથી ૧-ડીમાં છે. ત્યાં એક પરમાણુ તરીકે મોટિફ રાખવાને બદલે, હું આ રીતે મોટિફ રાખું છું. તો, મારી પાસે અહીં શું છે? મારી પાસે અનુવાદ ટી છે, પરંતુ મારી પાસે અરીસાની સમપ્રમાણતા પણ છે. તમે આને થોડું ખરાબ કરી શકો છો. જો તમે આ બનાવો તો તમે અરીસો અદૃશ્ય કરી શકો છો. તો, આપણે કહીએ કે આ અંધારું થઈ જાય છે. તેથી, અરીસો બરાબર અદૃશ્ય થઈ ગયો છે, પરંતુ તે હજી પણ છે કારણ કે હવે ભાત છે. તેથી, શરૂઆતમાં મોટિફ એ હતું, અને હવે તે એએ છે, હવે મોટિફ એબી છે. 1-ડીમાં, તમે ટ્રાન્સલેશન અને મિરર અથવા રિફ્લેક્શન જેવી કામગીરી કરી શકો છો. તેઓ 1-ડી, 2-ડી, 3-ડી પર લાગુ પડે છે, પરંતુ 1-ડીમાં શક્ય એવા માત્ર બે કેસ આ 2 છે. તેથી, ચાલો આપણે થોડું વધુ જટિલ તરફ આગળ વધીએ.

(સ્લાઇડ ટાઇમ સંદર્ભ આપો: 20:18)

2-ડીમાં, રોટેશન તત્ત્વનો ઉમેરો છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો હું આ જાળી ઝેડ લઉં, તો તેને સ્વ-સંયોગમાં લાવવા માટે મારે તેના પર શું રોટેશન પ્રદાન કરવાની જરૂર છે? મારે તેને 180 સુધી ફેરવવાની જરૂર છે⁰. તેથી, જો હું આ બિંદુની આસપાસ ૧૮૦ સુધીમાં ફરું તો⁰, તે એક જ આકાર બની જશે. પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતાના કિસ્સામાં, આપણે આને ફોલ્ડ એન-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.

તો, શું સમપ્રમાણતાના ફોલ્ડ્સની સંખ્યા છે, અને આ શું છે? એન 360 બરાબર છે⁰ થેટા, અથવા પરિભ્રમણના ખૂણા દ્વારા વિભાજિત. તેથી, આ પરિભ્રમણનો ખૂણો છે. તો, આ કિસ્સામાં, શું હશે નહીં? તે 2 હશે. હવે, તમે આમાંથી ૨-ડી જાળી કેવી રીતે બનાવી શકો છો? સમતલ ત્રિકોણના કિસ્સામાં, θ 120 બરાબર હશે⁰, જો θ 90 ની બરાબર હોય તો એન 3 બરાબર હશે⁰, એન 4 બરાબર છે.

તદુપરાંત, જો તમે કેટલાક ફૂલો જુઓ, તો મને તે ખૂબ સમપ્રમાણ નથી, પરંતુ થવા દો. તેથી, કેટલાક ફૂલોમાં 5 પાંખડીઓ વધુ સારી હોય છે. તેથી, તમારી પાસે અહીં 5 પાંખડીઓ છે. તેથી, અહીં તમારે 72 નું રોટેશન પ્રદાન કરવાની જરૂર છે⁰, 5-ફોલ્ડ. જો તમે આઇસ ફ્લેક્સ જુઓ અથવા જો તમે આ પ્રકારની વસ્તુઓ જુઓ, તો તે 6 ગણી સમપ્રમાણતા છે. તેથી, અહીં તમારે 60 નું રોટેશન પ્રદાન કરવાની જરૂર છે⁰અને આ એન 6 બરાબર હશે, અને જો તમારી પાસે 45 હોય તો તમે આઠ ગણી સમપ્રમાણતા જેવી વસ્તુઓ પણ મેળવી શકો છો⁰ અમુક પદાર્થોના કિસ્સામાં પરિભ્રમણ.

તેથી, ત્યાં 7-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતા નથી, 13-ગણી; 11 ગણો, તે બધા અહીં ગેરહાજર છે. તેથી, અને એક ગાણિતિક આધાર છે કે હું તેની વિગતોમાં શા માટે પ્રવેશ ી શકતો નથી, પરંતુ ૭, ૧૧ તમે જોઈ શકો છો કે અહીં, ૯ ગુમ છે, ૯ ગણો ત્યાં નથી; 13 ગણો ત્યાં નથી. ક્રિસ્ટલોગ્રાફીમાં 5-ફોલ્ડની પણ પરવાનગી નથી કારણ કે તે જગ્યા ભરતી નથી.

મુદ્દો જુઓ, તમે તે ડિગ્રીનું પરિભ્રમણ કરી શકો છો, પરંતુ જો કોઈ વસ્તુ જગ્યા ને ભરતી નથી. સ્ફટિકશાસ્ત્રમાં, મહત્ત્વની બાબત એ છે કે, સ્ફટિકીય પદાર્થોમાં, તે કામગીરી એ જગ્યાને ભરવી આવશ્યક છે. તેથી, 5 ગણી વસ્તુ જગ્યા ને ભરતી નથી. તેથી, પરિણામે, સ્ફટિકીય સામગ્રી 5-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતા બતાવતી નથી. સામગ્રીનો બીજો વર્ગ છે, જે બતાવે છે કે 5-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતાને ક્વાસી ક્રિસ્ટલિન મટિરિયલ્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, પરંતુ તે બિન-સંતુલન સામગ્રી છે.

તેથી, તે જ રીતે, અન્ય સમપ્રમાણતાઓ પણ તે સામગ્રી દ્વારા 10 ગણી સમપ્રમાણતા અથવા 9-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતા દ્વારા બતાવવામાં આવે છે, કેટલીક સામગ્રી તેમને બતાવી શકે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે સ્ફટિકીય સામગ્રીમાં જોવા મળે છે. તેથી, સ્ફટિકીય પદાર્થોના કિસ્સામાં, આપણે મોટે ભાગે જે માં રસ ધરાવીએ છીએ તે છે એન-ફોલ્ડ 2-ફોલ્ડ, 3-ફોલ્ડ, 4-ફોલ્ડ, અને 6-ફોલ્ડ અને 1-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતા. તેથી, હવે, ચાલો આપણે આ જાળી પર પાછા આવીએ, જે મેં દોર્યું છે. તેથી, તમે જોઈ શકો છો કે આ જાળીમાં આ કિસ્સામાં.

તો, જો હું આ બિંદુની આસપાસ રોટેશન પ્રદાન કરું તો ૨ ગણું રોટેશન પણ શક્ય છે, શું ત્યાં ૩ ગણું શક્ય છે? 3-ફોલ્ડની કોઈ શક્યતા નથી. 4-ફોલ્ડ શક્ય છે. 6-ફોલ્ડ, 5-ફોલ્ડ શક્ય નથી. તેથી, આમાં 2 અને 4 છે. તેથી, અલબત્ત, આ બિંદુની આસપાસ, તેમાં 4 ગણો હશે, પરંતુ 2 ગણો તમે આ બિંદુઓ પર પણ હોઈ શકો છો. તેથી, તમે દરેક બિંદુને મહત્તમ સંભવિત સમપ્રમાણતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો છો. તેથી, અહીંનું આ કેન્દ્ર, આ તમને 4-ફોલ્ડ પ્રદાન કરી શકે છે. તેથી, જો કે તે તમને 2-ફોલ્ડ પણ પ્રદાન કરી શકે છે, તમે 4-ફોલ્ડ દ્વારા દર્શાવ્યું છે, કારણ કે 4-ફોલ્ડ એ ઉચ્ચ સમપ્રમાણતા છે જે તમે આ બિંદુની આસપાસ ફેરવીને પ્રાપ્ત કરી શકો છો. તેથી, આ મુદ્દાઓની આસપાસ, આને 2 બિંદુઓ તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યા છે કારણ કે તેઓ તમને 4-ફોલ્ડ આપી શકતા નથી. તેઓ તમને ફક્ત ૨-ફોલ્ડ આપી શકે છે. તેથી, તમે આ સમપ્રમાણતા બિંદુઓ રોટેશનલ સમપ્રમાણતા બિંદુઓ આ રીતે જાળીમાં દર્શાવો છો.

હવે, તમે જોઈ શકો છો કે જો તમારી પાસે ચોરસ જાળી હોય અને જો હું એવી ભાત પસંદ કરું જે પૂરતી સમપ્રમાણ હોય અથવા જે ગોળાકાર હોય, તો તમને 2-ફોલ્ડ અને 4-ફોલ્ડ મળે છે, પરંતુ હવે આપણે કહીએ કે, જાળી એક ચોરસ છે, પરંતુ હું આ ત્રિકોણો દ્વારા ભાતને બદલી શકું છું. તેથી, મેં હવે ભાત બદલી નાખી છે. શું તેમાં 4-ફોલ્ડ અથવા 2-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતા છે?

તેમાં 2 ગણો નથી, ના તેમાં 4 ગણો નથી. તેથી, અહીં ભાર મૂકવાનો મારો મતલબ એ છે કે, આપણે જે સમપ્રમાણ લાગે છે તેની પરંપરાગત વ્યાખ્યા દ્વારા જઈ શકતા નથી. આપણે આ વ્યાખ્યાઓ સમપ્રમાણતા દ્વારા જવું પડશે, જે તેને ખૂબ જ વિશિષ્ટ બનાવે છે. તેથી, જો કે તે ચોરસ જાળી જેવું લાગે છે, તે ખરેખર ચોરસ જાળી નથી કારણ કે તે 4-ફોલ્ડને અનુસરતું નથી, તેમાં 4-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતા નથી, તેમાં 3-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતા પણ નથી, કારણ કે જો તમે 3-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતા ઓપરેશન કરો છો, તો તે એકમાત્ર ઓપરેશન જ રહેતું નથી, તેથી તેમાં માત્ર 1-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતા છે. તમે જોઈ શકો છો કે તેમાં માત્ર 1-ફોલ્ડ સમપ્રમાણતા, પરિભ્રમણ સમપ્રમાણતા છે. તેથી, આ જ કારણ છે કે, સ્ફટિકશાસ્ત્રમાં, ઘન ઘન ન હોઈ શકે; જો તેમાં સમપ્રમાણતાના તત્વો ન હોય જે ઘન માટે વિશિષ્ટ હોય, તો હું થોડા સમયમાં આવીશ. તેથી, ચાલો આપણે અહીં સમાપ્ત થઈએ, અને હવે આપણે આગામી વ્યાખ્યાન પર લઈ જઈ શકીએ.